พีชคณิตเชิงเส้นและจำนวนเชิงซ้อน

สมการสองสมการที่มีค่าที่ยังไม่รู้สองตัว มีคำตอบได้สามแบบ: คำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือไม่จำกัด · หักใบเสร็จให้เห็นก่อน แล้วค่อยตั้งชื่อค่า D จากการคูณไขว้ · D ไม่เป็นศูนย์ = คำตอบเดียว · D เป็นศูนย์ แทน x = 0 แยกไม่มีคำตอบกับไม่จำกัด · เขียนให้ครบทุกบรรทัดแบบข้อสอบ

ต่อจากโจทย์ค้างตอน 1 (ax + 9y = 1 · x + ay = 2) · ตั้งค่า D เป็นนิพจน์ของ a แล้วหาทุกค่าที่ทำให้ D เป็นศูนย์ (a² = 9 ได้ทั้ง 3 และ −3) · แทนกลับทีละค่าเพื่อแยกไม่มีคำตอบกับไม่จำกัด · ฝั่งขวาเป็นศูนย์ · D ที่ไม่มีวันเป็นศูนย์ · ปุ่มหมุน a ให้เห็นเส้นขนาน/ทับ

ลูกศรสองตัวตั้งฉากกันไหม ดูจากผลคูณจุด (บวกคู่ที่คูณกันแล้วได้ศูนย์) · ความยาวของลูกศรจากพีทาโกรัส · มุมระหว่างลูกศร · ตารางเลขคูณกันแถวคูณหลัก และขนาดผลคูณ

เฉลยข้อเลือกตอบ 8 ข้อ (หลังตอน 1–3): สองจุดใช้ได้ไม่ได้แปลว่าสองคำตอบ · ค่า D เป็นศูนย์แยกทับกับขนาน · ตัวเลือกที่มีเงื่อนไข · ขวามือเป็นศูนย์ · ผลคูณจุดกับมุม · ขนาดผลคูณเมทริกซ์

สามสมการสามตัวแปร: เอาสมการมาลบกันทีละคู่ให้ตัวแปรหายทีละตัว · จัดเป็นตารางเลข (เมทริกซ์แต่งเติม) · ทำให้เป็นบันได (Gaussian) แล้วแทนค่าย้อนจากล่างขึ้นบน · สลับแถว/คูณแถว · ต่อไปจนเป็นแนวทแยง (Gauss–Jordan)

ล้างแถวจนเจอแถวศูนย์: 0 = 0 ทิ้งได้ · 0 = ตัวเลข พังทั้งระบบ · นับตัวแปรอิสระแล้วเขียนคำตอบไม่จำกัด

เฉลยข้อเลือกเรื่องบันไดและแถวศูนย์ 6 ข้อ: สมการมากกว่าตัวแปรไม่ได้แปลว่าไม่มีคำตอบ · บันไดครบได้คำตอบเดียว · ตัวนำเป็นศูนย์ต้องสลับแถว · 0 = ตัวเลข แปลว่าไม่มีคำตอบ · สมการน้อยกว่าตัวแปรไม่ได้แปลว่าไม่จำกัดเสมอ

เฉลยข้อตัวแปรอิสระ 4 ข้อ: สามสมการสามตัวแปรไม่ได้แปลว่าคำตอบเดียว · ล้างแล้วเหลือสมการจริงกี่สมการ · เขียนรูปคำตอบเมื่อแถวหาย · แถวศูนย์ที่มีเลขหลักขวา · ห้าสมการสามตัวแปร

เฉลยข้อเขียนที่มี a มี b: ห้ามหารด้วย a ตั้งแต่บรรทัดแรก · แยกกรณีให้ครบทุกกรณี

หาร A ทิ้งไม่ได้ ต้องคูณด้วยตัวผกผัน · หาตัวผกผันด้วยการทำแถว [A | I] · สูตรลัด 2×2 · x = A⁻¹b

ผกผันและทรานสโพสของผลคูณกลับลำดับ (ถอดรองเท้าก่อนถุงเท้า) · (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ · (AB)ᵀ = BᵀAᵀ

เฉลยเรื่องตัวผกผัน: คูณกลับแล้วต้องได้ I · ผกผันก่อนพลิกกับพลิกก่อนผกผันเท่ากัน · หาตัวผกผันของเมทริกซ์ 3×3 ด้วยการทำแถว [A | I] · ใช้ x = A⁻¹b แก้ระบบแล้วเช็กกลับ

ใบเสร็จสองใบกับตาชั่งที่ต้องไม่เอียง · ลบสมการให้ตัวหนึ่งหาย แล้วหารให้เหลือตัวเดียว · บวกแทนลบเมื่อเครื่องหมายต่างกัน · สั่งซ้ำก่อนลบเมื่อเลขไม่ตรง · ใบเสร็จใบเดียวคือทั้งเส้น · สองเส้นที่ไม่ตัดกันที่จุดเดียว · D = ad − bc บอกล่วงหน้าโดยไม่ต้องลบให้จบ · D เป็นศูนย์แล้วขนานหรือทับ · Quiz 0 ข้อ 1–2

D ดูแค่ด้านซ้าย ไม่เห็นตัวเลขขวา · D = 0 จำเป็นแต่ยังไม่พอ — ต้องแทนกลับทีละค่า · โจทย์พารามิเตอร์ a แบบ Quiz · ระบบที่ขวาเป็นศูนย์ไม่มีทางไม่มีคำตอบ · ตัวร่วมดึงออก อย่าหารทิ้ง · Quiz 0 ข้อ 3–4 · Quiz 1 ข้อ 2 · ข้อสอบข้อ 2

เวกเตอร์ = ลูกศร = รายการตัวเลข · บวก ลบ คูณเลขทีละช่อง · ความยาวคือพีทาโกรัสซ้ำ · เวกเตอร์หนึ่งหน่วย · ระยะทางระหว่างจุด · บิลร้านกาแฟคือผลคูณจุด · พิสูจน์ x·y = ‖x‖‖y‖cos α ด้วยกฎของโคไซน์ · หามุมและกับดัก √6·√6

ประตูเลื่อนกับแรงที่ผลักเฉียง — เงาบนรางคือผลคูณจุด · cos 90° = 0 จึงได้ x̄·ȳ = 0 · มิติที่สี่วาดไม่ได้ จึงกลับเอาผลนั้นมาเป็นนิยาม · หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉาก — สมการเดียวได้คำตอบเต็มเส้น · สลับที่กลับเครื่องหมาย · โจทย์สามลูกศรห้าตัวเลือก · เวกเตอร์หนึ่งหน่วยและ k ที่มีสองค่า · Quiz 0 ข้อ 5

ใบเสร็จหนึ่งใบคือผลคูณจุดของแถวกับราคา · ซ้อนใบเสร็จแล้วทั้งระบบคือ Ax̄ = b̄ · คำตอบต้องผ่านทุกแถว · ชื่อตำแหน่ง aᵢⱼ แถวก่อนหลักเป็นข้อตกลง · บวก เท่ากัน คูณเลข ทำทีละช่อง แต่ A·B ไม่ใช่ · ช่อง (i, j) ของ AB = แถว i·หลัก j · กฎเลขตรงกลาง (m×n)(n×p) → m×p · Quiz 1 ข้อ 4 · เมทริกซ์แต่งเติมกับสามท่ากับแถว

การกำจัดแบบเกาส์ → ขั้นบันได → แทนย้อนขึ้น · ทำไมสามท่ากับแถวไม่เปลี่ยนคำตอบ (ตาชั่งกับการย้อนกลับได้) · ตัวนำเป็นศูนย์ต้องสลับแถว · Quiz 1 ข้อ 3 · Quiz 3 ข้อ 2

ใบเสร็จที่ไม่มีของแต่เก็บเงินสิบบาท · 0 0 0 | c แปลว่าไม่มีคำตอบ · 0 0 0 | 0 ทิ้งได้แล้วอ่านที่เหลือ · สองคำตอบพอดีไม่มีวันเกิด · หาแถวมาสลับไม่ได้ให้ข้ามไปคอลัมน์ถัดไป · สมการน้อยกว่าตัวแปรก็ไม่มีคำตอบได้ · Quiz 1 ข้อ 1, 3, 5 · Quiz 2 ข้อ 1, 2, 5 · Quiz 3 ข้อ 3 · ข้อสอบ 5.2

นับไม่ถ้วนแล้วเขียนเป็นสูตรได้อย่างไร · ปล่อยตัวแปร n − k ตัว เมื่อ k = แถวที่เหลือหลังกำจัด · ตัวไหน = คอลัมน์ที่ไม่มีตัวนำ · ปล่อยตัวที่ถูกตรึงแล้วพังสองข้อ · คำตอบชุดที่หน้าตาต่างแต่เป็นชุดเดียวกัน · Quiz 2 ข้อ 5 · Quiz 3 · ข้อสอบ 5.2

Gauss–Jordan = ขาลงเดิม + ขากวาดขึ้นด้วยแถวที่เป็นป้ายราคาแล้ว · ทุกแถวเป็นป้าย (RREF) อ่านคำตอบจากหลังเส้นได้ทันที · ราคาที่จ่ายคือท่าที่เขียนเพิ่ม · ผลลัพธ์เป็นของระบบไม่ใช่ของวิธี · Quiz 2 ข้อ 4 · ข้อสอบ 5.2 · ห้องฝึกจับจุดพลาด

ตารางค้นหาตามหน้าตาโจทย์ → 11 หัวข้อ (เช็กลิสต์ทำตามได้เลย · สูตร · กับดัก · โจทย์ทำให้ดูทุกบรรทัดพร้อมภาพวง/ลูกศรบอกว่าทำอะไรกับอะไร) รวม 4×4/5×5/6×6 · ระบบ 4–5 ตัวแปรรูปเวกเตอร์ · คราเมอร์ 4×4 · เส้น/ระนาบตัดกัน → เฉลย Quiz 0–3 ทุกข้อทุกตัวเลือกมีภาพ → เฉลยข้อสอบฝึกทุกข้อ (ชี้จุดที่เฉลยพิมพ์ผิด) → สูตรหน้าเดียว

ประตู "ไม่มีคำตอบ" ล็อกเมื่อขวาเป็นศูนย์ · ตัด A สองข้างไม่ได้ถ้าไม่มีตัวถอด (AB = AC แต่ B ≠ C) · กวาด (A | I) ครั้งเดียวได้ A⁻¹ แถวศูนย์หน้าเส้น = singular · (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ใส่ทีหลังถอดก่อน · ทรานสโพสกลับลำดับเพราะขนาดบังคับ · det 2×2 คือตัวหาร โคแฟกเตอร์ 3×3 · Quiz 3 ข้อ 1 · ข้อสอบ Q2 Q7 5.1

เลือกแถวที่ศูนย์เยอะ · ท่ากับแถวเปลี่ยน det อย่างไร (สลับ − · คูณ ×k · บวกเท่าเดิม) · det(AB) det(A⁻¹) det(Aᵀ) det(kA) กับดัก det(A+B) · ห้าประโยคสมมูลพูดเป็นประโยคเดียว · สูตร 2×2 มาจากโคแฟกเตอร์/แอดจอยต์ · คราเมอร์บนโจทย์เดียวกับการกำจัด · เส้นเดียวสามหน้าตา · สามจุดให้ระนาบ ตัวตั้งฉาก · ไม่ตัดกัน ≠ ขนาน · ข้อสอบฝึก Q1 Q2 Q5 ข้อ 8

Quiz 0 ข้อ 1–5 (D บอกจำนวนคำตอบ · พารามิเตอร์ a · ระบบขวาศูนย์ · ผลคูณจุด/ความยาว) · Quiz 1 ข้อ 1–5 (กำจัดแล้วเจอ 0 = 3/2 · D = 6 + a² · แทนย้อนได้ (−4, −1, 3) · ขนาดคูณกันไม่ได้ · D = 0 แล้วแทนกลับ) — ข้อละฉาก: ลองเองก่อน → แผน → ทุกบรรทัด → เช็กกลับ → ทำไมตัวลวงผิด

Quiz 2 ข้อ 1–5 (กำจัดแล้วเจอ 0 = −12 · x = (3, 2) · 3 สมการ 4 ตัวแปร · สามผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ · คำตอบแบบเวกเตอร์กับตัวอิสระสองตัว) · Quiz 3 ข้อ 1–5 (เงื่อนไขมีอินเวอร์ส det = 3.2 · แทนย้อนได้ (3, 2, 0) · 0 = −2 ไม่มีคำตอบ · det A = −27 กับ det A⁻¹ · สมบัติ det) — ข้อละฉาก: ลองเองก่อน → แผน → ทุกบรรทัด → เช็กกลับ → ทำไมตัวลวงผิด

Q2 เงื่อนไขมีอินเวอร์ส · Q4 det I · Q5 ตัวตั้งฉากของระนาบ · ข้อ 2 พารามิเตอร์ a, b · ข้อ 3 det ด้วยโคแฟกเตอร์/แถว/หลัก · ข้อ 4 det = −15120 · 5.1 อินเวอร์สจาก (A | I) · 5.2 Gauss–Jordan มีตัวอิสระ · ข้อ 6 คราเมอร์ · ข้อ 7 (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹ · ข้อ 8 เส้นตัดกันใน 3 มิติ (เฉลยพิมพ์ของข้อสอบผิด — คลิปแสดงว่าทำไม) · ไม่ครอบ Q1 Q3 ข้อ 2 อีกแบบ 5.2 แบบไม่มีคำตอบ และโบนัสข้อ 9